【現代数理統計学の基礎】演習問題 2章問10 答案例

はじめに

統計検定1級の対策として現代数理統計学の基礎を解いています。
公式の略解だと式展開が追いきれない部分があったので、
可能な限り、しつこく式展開をしつつ解いています。
誤り・飛躍があったら、コメントにてお知らせください。

演習問題 2章問10 答案例

(1)

${ \displaystyle{ \begin{align} M_X(t) = E[e^{tX}]&=\int^\infty_0 e^{tx} f(x)dx\\\ &=\int^\infty_0 e^{tx} \cdot e^{-x} dx\\\ &=\int^\infty_0 e^{(t-1)x} dx\\\ &=\frac{1}{t-1}\left[e^{(t-1)x}\right]^\infty_0 \\\ \end{align} \\\ |t|<1で \lim_{x \to \infty} e^{(t-1)x} = 0なので、\\\ M_X(t) = \frac{1}{1-t}, \hspace{5mm} |t| < 1 } }$

以上.

(2)

${ \displaystyle{ E[X^k] = \left.\frac{d^k}{dt^k}M_X(t)\right|_{t=0}\\\ \\\ M_X^{(1)}(t) = \frac{1}{(1-t)^2}, \hspace{3mm} M_X^{(2)}(t) = \frac{2}{(1-t)^3}\\\ \\\ M_X^{(k)}(t) = \frac{k!}{(1-t)^{k+1}} と予想.\\\ \\\ \\\ \mathrm{(i)} \hspace{5mm} k = 1のとき、\\\ M_X^{(1)}(t) = \frac{1!}{(1-t)^{1+1}}=\frac{1}{(1-t)^2} で成立.\\\ \\\ \\\ \mathrm{(ii)} \hspace{5mm} k = lのとき、M_X^{(l)}(t)=\frac{l!}{(1-t)^{l+1}}が成立すると仮定する.\\\ k = l + 1のとき、\\\ \begin{align} M_X^{(l+1)}(t)&=\frac{-(l!\cdot ((1-t)^{l+1})')}{(1-t)^{2(l+1)}} &=\frac{(l+1)!}{(1-t)^{(l+1)+1}}\\\ \end{align} \\\ となり、k=l+1のときも成立.\\\ \\\ \\\ \mathrm{(i),(ii)}より、数学的帰納法により、M_X^{(k)}=\frac{k!}{(1-t)^{k+1}} \\\ \therefore E[X^k]=k! } }$

以上.

(3)

$\displaystyle{ Y=g(X)=\sigma X + \mu, \sigma >0なる変数変換を考える.\\\ ここで、x>0より、y>\muとなる.\\\ \\\ g'(x)=\sigma>0より、g(x)は単調増加関数.\\\ g^{-1}(y)=\frac{y-\mu}{\sigma}\\\ \\\ \begin{align} f_Y(y)&=f_X(g^{-1}(y))\cdot \frac{1}{g'(g^{-1}(y)}\\\ &=\underline{\frac{1}{\sigma}e^{-\frac{y-\mu}{\sigma}}, \hspace{5mm} y > \mu} \\\ \\\ F_Y(y)&=\int^y_\mu \frac{1}{\sigma} e^{-\frac{t-\mu}{\sigma}}dt\\\ &=\frac{1}{\sigma} e^{\frac{\mu}{\sigma}} \int^y_\mu e^{-\frac{t}{\sigma}}dt\\\ &=\frac{1}{\sigma} e^{\frac{\mu}{\sigma}}\cdot (-\sigma) \left[e^{-\frac{t}{\sigma}}\right]^y_\mu \\\ &= -e^{\frac{\mu}{\sigma}}\cdot (e^{-\frac{y}{\sigma}} - e^{-\frac{\mu}{\sigma}})\\\ &= e^{\frac{\mu}{\sigma} - \frac{\mu}{\sigma}} -e^{\frac{\mu}{\sigma} -\frac{y}{\sigma}}\\\ &=\underline{1-e^{-\frac{y-\mu}{\sigma}}, \hspace{5mm} y > \mu} \end{align} }$

以上.

(3) 補足

$\displaystyle{ F_Y(y)=P(Y \leq y) = P(\sigma X + \mu \leq y) = P(X \leq \frac{y-\mu}{\sigma})なので、\\\ \int^{\frac{y-\mu}{\sigma}}_0 f(x)dxからF_Y(y)を求めて、それを微分してf_Y(y)を求めてもいい. }$