【現代数理統計学の基礎】演習問題 2章問1 答案例

はじめに

統計検定1級の対策として現代数理統計学の基礎を解いています。
公式の略解だと式展開が追いきれない部分があったので、
可能な限り、しつこく式展開をしつつ解いています。
誤り・飛躍があったら、コメントにてお知らせください。

演習問題 2章問1 答案例

(1)

${ \displaystyle \begin{align} \int^2_0 Cx^3dx &= \frac{1}{4} C \left[x^4\right]^2_0=\frac{1}{4}C\times2^4=1\hspace{20mm} \therefore C=\frac{1}{4} \end{align} }$

${ \displaystyle \begin{align} F(x) = \int^x_0 \frac{1}{4}t^3 dt=\frac{1}{16}\left[t^4\right]^x_0=\frac{1}{16}x^4 \end{align} }$

以上.

(2)

${x \geq 0, x < 0}$ で分けて考える。

${ \displaystyle \begin{align} \int^{\infty}_{-\infty} Ce^{-|x|}dx &= \int^0_{-\infty}Ce^xdx + \int^\infty_0Ce^{-x}dx\\\ &=C \left\{ \left[e^x \right]^0_{-\infty} - \left[e^{-x} \right]^{\infty}_0 \right\}\\\ &=C\{(1-0) - (0 - 1) \}\\\ &=2C=1 \hspace{20mm} \therefore C=\frac{1}{2} \end{align} }$

(i) $x < 0$ のとき、

${ \displaystyle \begin{align} F(x)&=\int^x_{-\infty} \frac{1}{2}e^tdt= \frac{1}{2} \left[e^t \right]^x_{-\infty}= \frac{1}{2}e^x \end{align} }$

(ii) $x \geq 0$ のとき、

${ \displaystyle \begin{align} F(x)&=\int^0_{-\infty}\frac{1}{2}e^tdt+\int^x_0 \frac{1}{2}e^{-t}dt\\\ &=\frac{1}{2} \left[e^t\right]^0_{-\infty}-\frac{1}{2}\left[e^{-t}\right]^x_0\\\ &=\frac{1}{2} - \frac{1}{2}(e^{-x}-1)\\\ &=1-\frac{1}{2}e^{-x} \end{align} }$

以上.

(3)

${ \displaystyle \begin{align} \int^\infty_0 Ce^{-2x}dx&=-\frac{1}{2}C\left[e^{-2x}\right]^\infty_0=-\frac{1}{2}C(0-1)=1 \hspace{10mm} \therefore C=2 \end{align} }$

${ \displaystyle \begin{align} F(x)&=\int^x_0 2e^{-2t}dt=2\times\left(-\frac{1}{2}\right) \left[e^{-2t} \right]^x_0=-1\times(e^{-2x}-1)=1-e^{-2x} \end{align} }$

以上.

(4)

${e^{-x} = y}$ と置換すると、 $\displaystyle{\frac{dy}{dx}=-e^{-x}}$
${\displaystyle[x\rightarrow0, x\rightarrow\infty] = [y\rightarrow1, y\rightarrow0]}$

${ \displaystyle \begin{align} \int^\infty_0Ce^{-x}e^{e^{-x}}dx&=-\int^\infty_0 C(-e^{-x})e^{e^{-x}}dx\\\ &=-\int^0_1 C e^{-y}dy=C\left[e^{-y}\right]^0_1=C(1-e^{-1}) \hspace{10mm} \therefore C=\frac{1}{1-e^{-1}} \end{align} }$