【現代数理統計学の基礎】演習問題 2章問2 答案例

はじめに

統計検定1級の対策として現代数理統計学の基礎を解いています。
公式の略解だと式展開が追いきれない部分があったので、
可能な限り、しつこく式展開をしつつ解いています。
誤り・飛躍があったら、コメントにてお知らせください。

演習問題 2章問2 答案例

分布関数であることを示すには、以下3点を示せばよい.

(i) ${ \displaystyle \begin{align} \lim_{x \to -\infty}F(x)=0, \lim_{x \to \infty}F(x)=1 \end{align} }$

(ii) $F(x)$ が単調増加
(iii) $F(x)$ が右連続

(1)～(4)の関数はすべて、与えられた定義域において微分可能な関数の合成関数なので、
与えられた定義域において、微分可能である.
微分可能であるため、(1)～(4)はすべて与えられた定義域において連続。
そのため、(iii)の条件はすべての設問で満たす.

(i)(ii)を示せばよく、かつ与えられた関数が微分可能なので、
$\displaystyle \frac{d}{dx}F(x) \geq 0$ を示せば単調増加であることを示せる.

与えられた関数が分布関数であれば、(ii)を示す過程で求める、
$\displaystyle \frac{d}{dx}F(x)$ が確率密度関数(pdf)となる.

(1)

${ \displaystyle \begin{align} \lim_{x \to -\infty}(1+e^{-x})^{-1} = 0\\\ \lim_{x \to \infty}(1+e^{-x})^{-1}=1\\\ \end{align} }$
$\therefore \mathrm{(i)}を満たす.$

${ \displaystyle \begin{align} \frac{d}{dx}(1+e^{-x})^{-1} &= \frac{-(1+e^{-x})'}{(1+e^{-x})^2}\\\ &=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2} > 0\\\ \end{align} }$
$\therefore F(x) は狭義単調増加であり、\mathrm{(ii)}を満たす.$

$\mathrm{(i), (ii)}$ より $F(x)$ は分布関数である.

(ii)よりpdfは
$\displaystyle f(x)=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}$

以上.

(2)

${ \displaystyle \begin{align} \lim_{x \to 1}(1- \frac{1}{x^2})=(1-1)=0\\\ \lim_{x \to \infty}(1-\frac{1}{x^2})=(1-0)=1\\\ \end{align} }$
$\therefore \mathrm{(i)}を満たす.$

${ \displaystyle \begin{align} \frac{d}{dx}(1-\frac{1}{x^2})&=\frac{(x^2)'}{(x^2)^2}\\\ &=\frac{2}{x^3} > 0 \hspace{10mm} \because x > 1\\\ \end{align} }$
$\therefore F(x)は狭義単調増加であり、\mathrm{(ii)}を満たす.$

$\mathrm{(i), (ii)}$ より $F(x)$ は分布関数である.

(ii)よりpdfは
$\displaystyle f(x)=\frac{2}{x^3}$

以上.

(3)

${ \displaystyle \begin{align} \lim_{x \to 1}\frac{\log x}{1+ \log x} &=\frac{0}{1+0}=0\\\ \lim_{x \to \infty}\frac{\log x}{1+ \log x}&=\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\frac{1}{\log x}+1}=\frac{1}{0+1}=1\\\ \end{align} }$
$\therefore \mathrm{(i)}を満たす.$

${ \displaystyle \begin{align} \frac{d}{dx}\left(\frac{\log x}{1+ \log x}\right)&=\frac{\frac{1}{x}(1+\log x) - \log x \times \frac{1}{x}}{(1+\log x)^2}\\\ &=\frac{1}{x(1+\log x)^2} > 0 \hspace{10mm} \because x>1\\\ \end{align} }$
$\therefore F(x)は狭義単調増加であり、\mathrm{(ii)}を満たす.$

$\mathrm{(i), (ii)}$ より $F(x)$ は分布関数である.

(ii)よりpdfは
$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x(1+\log x)^2}$

以上.

(4)

${ \displaystyle \begin{align} \lim_{x \to 0}(1-e^{-\frac{x^2}{2}}) &=(1-1)=0\\\ \lim_{x \to \infty}(1-e^{-\frac{x^2}{2}})&=(1-0)=1\\\ \end{align} }$
$\therefore \mathrm{(i)}を満たす.$

${ \displaystyle \begin{align} \frac{d}{dx}(1-e^{-\frac{x^2}{2}})&=xe^{-\frac{x^2}{2}} > 0 \hspace{10mm} x > 0\\\ \end{align} }$
$\therefore F(x)は狭義単調増加であり、\mathrm{(ii)}を満たす.$