【現代数理統計学の基礎】演習問題 2章問15 答案例

はじめに

統計検定1級の対策として現代数理統計学の基礎を解いています。
公式の略解だと式展開が追いきれない部分があったので、
可能な限り、しつこく式展開をしつつ解いています。
誤り・飛躍があったら、コメントにてお知らせください。

演習問題 2章問15 答案例

$\displaystyle{ F_Y(y)=P(Y \leq y)=P(X^2 \leq y)\\\ 確率変数xの範囲は[-1,2]なので、\\\ \mathrm{(i)} -1 \leq x \leq 1とx軸対称になる場合\\\ \mathrm{(ii)} 1 \leq x \leq 2とx軸対称でない場合\\\ の2つの場合に分けて考える.\\\ }$

(i) $-1 \leq x \leq 1 のとき$

${ \displaystyle \begin{align} f_Y(y)&=\frac{d}{dy}P(X \in \{ x \mid -\sqrt{y} \leq x \leq \sqrt{y} \})\\\ &=\frac{d}{dy} \int^{\sqrt{y}}_{-\sqrt{y}} \frac{2}{9} (x+1) dx\\\ &=\frac{d}{dy} \left[ \frac{1}{9} x^2 + \frac{2}{9}x \right]^{\sqrt{y}}_{-\sqrt{y}}\\\ &=\frac{d}{dy} \left\{ \left(\frac{y}{9} + \frac{2}{9} \sqrt{y} \right) - \left( \frac{y}{9} - \frac{2}{9} \sqrt{y} \right) \right\}\\\ &= \frac{d}{dy} \left(\frac{4}{9} \sqrt{y} \right) = \underline{\frac{2}{9 \sqrt{y}}, \hspace{3mm} (0 < y \leq 1)} \end{align} }$

(ii) $1 \leq x \leq 2 のとき、1 \leq y \leq 4$

${ \displaystyle{ \begin{align} f_Y(y)&=\frac{d}{dy} P(X^2 \leq y)\\\ &=\frac{d}{dy} P(X \leq \sqrt{y}) \hspace{5mm} \because x \leq 1 \\\ &=\frac{d}{dy} \int^{\sqrt{y}}_1 \frac{2}{9}(x+1)dx\\\ &=\frac{d}{dy} \left[ \frac{x^2}{9} + \frac{2}{9}x \right]^{\sqrt{y}}_1 \\\ &=\frac{d}{dy} \left( \frac{y}{9} + \frac{2}{9} \sqrt{y} - \frac{1}{3} \right) \\\ &= \underline{\frac{1}{9} \left( \frac{1}{\sqrt{y}} + 1 \right), \hspace{3mm} (1 \leq y \leq 4)} \end{align} } }$