【現代数理統計学の基礎】演習問題 2章問17 答案例

はじめに

統計検定1級の対策として現代数理統計学の基礎を解いています。
公式の略解だと式展開が追いきれない部分があったので、
可能な限り、しつこく式展開をしつつ解いています。
誤り・飛躍があったら、コメントにてお知らせください。

この問題、初見では厳しかったです。。。

演習問題 2章問17 答案例

(1)

途中、ライプニッツの積分法則の $g(\theta)=a, h(\theta)=b$ の場合を使用する.
類似例は2章問4にて示しているため、参考までに.
peatlover.hatenablog.com

$\displaystyle{ \frac{d}{dt}A(t) \geq 0 を示す.\\\ 累乗の微分は辛かろうなので、対数を取ってみる.\\\ \\\ h(t)=\log A(t) とすると, \\\ h(t) = \log\left(E[X^t] \right)^{\frac{1}{t}} =\frac{1}{t} \log E[X^t]\\\ \\\ \\\ \frac{d}{dt}h(t)=\frac{1}{A(t)}\frac{d}{dt}A(t)\\\ A(t) > 0なので、\frac{1}{A(t)} > 0 \Rightarrow \underline{\frac{d}{dt}h(t) \geq 0}を示せば、題意を示せる. }$

$\displaystyle{ \begin{align} \frac{d}{dt}h(t)&=\frac{t\left( \log E[X^t] \right)' - \log E[X^t]}{t^2}\\\ &=\frac{t \frac{1}{E[X^t]}\frac{d}{dt}E[X^t] - \log E[X^t]}{t^2}\\\ &=\underline{\frac{1}{t} \frac{\frac{d}{dt} E[X^t]}{E[X^t]} - \frac{\log E[X^t]}{t^2} \hspace{3mm} \geq 0} を示す. \cdots ① \end{align} }$

$\displaystyle{ \begin{align} \frac{d}{dt} E[X^t]&=\frac{d}{dt} \int^\infty_0 x^t f(x) dx \hspace{5mm} \because Xは正の確率変数. \\\ &= \int^\infty_0 \frac{\partial}{\partial t} \left\{ x^tf(x) \right\} dx, \hspace{5mm} \because ライプニッツの積分法則\\\\ &=\int^\infty_0 x^t \log x f(x) dx\\\ &=E[ X^t \log X] \cdots ② \end{align} }$

$\displaystyle{ \frac{d}{dt}h(t) = \frac{1}{t} \frac{E[X^t \log X ]}{E[X^t]} - \frac{\log E[X^t]}{t^2} \geq 0\\\ \Rightarrow tE[X^t \log X ] \geq E[X^t] \log E[X^t], \hspace{5mm} \because ①②\\\ \\\ \begin{align} t E[X^t \log X ] &= t \int^\infty_0 x^t \log x f(x) dx\\\ &= \int^\infty_0 x^t \cdot (t \log x) f(x) dx\\\ &= \int^\infty_0 x^t \log x^t f(x) dx\\\ &= E[X^t \log X^t ]\\\ \end{align} \\\ したがって、示すべき不等式は、\\\ \underline{E[X^t \log X^t ] \geq E[X^t] \log E[X^t]}\\\ \\\ \\\ X^t = Yと置換すると、\underline{E[Y \log Y ] \geq E[Y] \log E[Y ]} を示せばよい.\\\ \\\ ここで、g(y)=y \log yとすると、イェンセンの不等式：E[g(Y)] \geq g(E[Y])より示せる.\\\ あとは、イェンセンの不等式の適用条件である、g(y)が凸関数であることを言えればよい.\\\ 2階微分が常に0以上であれば、凸関数となる.\\\ \\\ g'(y)=\log y + y \frac{1}{y} = \log y + 1\\\ g''(y) = \frac{1}{y} >0, \hspace{5mm} \because y = x^t > 0\\\ \therefore g(y)は凸関数.\\\ \\\ \\\ よって、イェンセンの不等式から、E[Y \log Y] \geq E[Y] logE[Y]が示される.\\\ \\\ \\\ 以上より、\frac{d}{dt}h(t) \geq 0 \Rightarrow \frac{d}{dt}A(t) \geq 0より、A(t)は増加関数であることが示される. }$

以上.

(2)

$\displaystyle{ H=\left(E[X^{-1} ] \right)^{-1} = A(-1)\\\ M=E[X]=A(1)\\\ \\\ \\\ \begin{align} \lim_{t \to 0} h(t) &= \lim_{t \to 0} \log A(t)\\\ \\\ &= \lim_{t \to 0} \frac{\log E[X^t]}{t}\\\ \\\ &= \lim_{t \to 0} \frac{(\log E[X^t])')}{(t)'} \hspace{5mm} \because ロピタルの定理\\\ \\\ &=\lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{dt} E[X^t]}{E[X^t]}\\\ \\\ &= \lim_{t \to 0} \frac{E[X^t \log X]}{E[X^t]} \hspace{5mm} \because (1)の途中式\\\ \\\ &= \frac{E[1\cdot \log X]}{E[1]}\\\ \\\ \end{align} \\\ \\\ \therefore \lim_{t \to 0} \log A(t)=E[ \log X ] \Rightarrow \lim_{t \to 0} A(t) = \exp{E[\log X]}\\\ }$