【現代数理統計学の基礎】演習問題 2章問4 答案例

はじめに

統計検定1級の対策として現代数理統計学の基礎を解いています。
公式の略解だと式展開が追いきれない部分があったので、
可能な限り、しつこく式展開をしつつ解いています。
誤り・飛躍があったら、コメントにてお知らせください。

演習問題 2章問4 答案例

(i)

$\displaystyle \frac{d}{dt}E[(X-t)^2 ]=0 となる tを求める.$

$\displaystyle \begin{align} E[(X-t)^2 ]&=E[X^2]-E[2tX]+E[t^2]\\\ &=E[X^2]-2tE[X]+t^2 \end{align}$

$\displaystyle \frac{d}{dt}E[(X-t)^2 ]=-2E[X]+2t=0$

$\displaystyle \therefore t=E[X]=\muで最大となる.$
${ \displaystyle \begin{align} \end{align} }$

以上.

(ii)

$\displaystyle \frac{d}{dt}E[|X-t|]=0となるtを求める.$
$\displaystyle x \geq t, x < tに分けて考える. Xの\mathrm{pdf}をf(x)とする.$

${ \displaystyle \begin{align} E[|X-t|]&=\int^t_{-\infty} (t-x)f(x)dx+\int^\infty_t(x-t)f(x)dx\\\ \frac{d}{dt}E[|X-t|]&=\frac{d}{dt}\int^t_{-\infty} (t-x)f(x)dx+\frac{d}{dt}\int^\infty_t(x-t)f(x)dx \hspace{10mm} \dots (1) \end{align} }$

付録(B5) ライプニッツの積分法則
$\thetaについて微分可能で、xについて積分可能なf(x, \theta)について、$
${ \displaystyle \begin{align} \frac{d}{d\theta}\int^{h(\theta)}_{g(\theta)}f(x, \theta)dx=f(h(\theta),\theta)\frac{d}{d\theta}h(\theta)-f(g(\theta),\theta)\frac{d}{d\theta}g(\theta)+\int^{h(\theta)}_{g(\theta)}\frac{d}{d\theta}f(x,\theta)dx\\\ \end{align} }$

$g(\theta)=a, h(\theta)=\thetaの場合、$
${ \displaystyle \begin{align} \frac{d}{d\theta}\int^{\theta}_af(x, \theta)dx&=f(a,\theta)\frac{d}{d\theta}a-f(\theta,\theta)\frac{d}{d\theta}\theta+\int^{\theta}_a\frac{d}{d\theta}f(x,\theta)dx\\\ &=f(\theta,\theta)+\int^{\theta}_a\frac{d}{d\theta}f(x,\theta)dx \hspace{10mm} \dots (2) \end{align} }$

ライプニッツの積分法則(2)から、(1)の各項はそれぞれ、
${ \displaystyle \begin{align} \frac{d}{dt}\int^t_{-\infty} (t-x)f(x)dx&=(t-t)f(t)+\int^t_{-\infty} \left\{\frac{\partial}{\partial t}(tf(x)-xf(x))\right\}dx\\\ &=\int^t_{-\infty} f(x)dx\\\ \\\ \frac{d}{dt}\int^\infty_t (x-t)f(x)dx &=\frac{d}{dt} \int^t_\infty (t-x)f(x)dx\\\ &=(t-t)f(t)+\int^t_{\infty} \left\{\frac{\partial}{\partial t}(tf(x)-xf(x))\right\}dx\\\ &=\int^t_{\infty} f(x)dx\\\ &=-\int^{\infty}_t f(x)dx\\\ \\\ \therefore \frac{d}{dt}E[|X-t|]&=\int^t_{-\infty} f(x)dx-\int^{\infty}_t f(x)dx\\\ \end{align} }$

${ \displaystyle Xの分布関数をF(x)とすると、求めたいのは以下を満たすt.\\\ \begin{align} \int^t_{-\infty} f(x)dx-\int^{\infty}_t f(x)dx&=0\\\ F(t)-(1-F(t))&=0\\\ 2F(t)-1&=0\\\ F(t)&=\frac{1}{2}\\\ \end{align} \\\ \therefore tがXの\frac{1}{2}分位点のとき、E[|X-t|]が最大となる. }$