ぴーとLOG

はじめに

統計検定1級の対策として現代数理統計学の基礎を解いています。
公式の略解だと式展開が追いきれない部分があったので、
可能な限り、しつこく式展開をしつつ解いています。
誤り・飛躍があったら、コメントにてお知らせください。

演習問題 2章問18 答案例

${ \displaystyle{ \begin{align} M_X(t)&=E[e^{tx}]=\int^1_0 e^{tx} f(x) dx\\\ \\\ &= \int^1_0 \sum\limits^\infty_{k=0} \frac{(tx)^k}{k!} (m+1)x^m dx\\\ \\\ &= \int^1_0 \sum\limits^\infty_{k=0} \frac{t^k(m+1)}{k!} x^{k+m} dx\\\ \\\ &= \left[ \sum\limits^\infty_{k=0} \frac{m+1}{k!}t^k \cdot \frac{1}{m+k+1}x^{m+k+1} \right]^1_0\\\ \\\ &=\sum\limits^\infty_{k=0} \frac{(m+1)t^k}{(m+k+1)k!}\\\ \\\ \\\ \\\ E[X]&=M_X^{(1)}(0)=\left. \sum\limits^\infty_{k=1} \frac{(m+1)}{(m+k+1)} \cdot k \cdot t^{k-1} \right|_{t=0}\\\ \\\ &=\left. \sum\limits^\infty_{k=1} \frac{(m+1)}{(m+k+1)(k-1)!} t^{k-1} \right|_{t=0}\\\ \\\ &= \frac{m+1}{m+2}, \hspace{5mm} (k=1での定数項のみ残る)\\\ \\\ \\\ \\\ E[X^2]&=M_X^{(2)}(0)= \left. \sum\limits^\infty_{k=2} \frac{(m+1)}{(m+k+1)(k-2)!} t^{k-2} \right|_{t=0}\\\ \\\ &= \frac{m+1}{m+3}, \hspace{5mm} (k=2での定数項のみ残る)\\\ \\\ \\\ Var(X)&=\frac{m+1}{m+3} - \left\{ \frac{m+1}{m+2} \right\}^2\\\ \\\ &= \frac{(m+1)\{(m+2)^2 - (m+1)(m+3) \}}{(m+3)(m+2)^2}\\\ \\\ &= \frac{m+1}{(m+3)(m+2)} \end{align} } }$