【現代数理統計学の基礎】演習問題 2章問3 答案例

はじめに

統計検定1級の対策として現代数理統計学の基礎を解いています。
公式の略解だと式展開が追いきれない部分があったので、
可能な限り、しつこく式展開をしつつ解いています。
誤り・飛躍があったら、コメントにてお知らせください。

演習問題 2章問3 答案例

$\displaystyle \mathrm{(i)} g(x) \geq 0$

$\displaystyle \mathrm{(ii)} \int^\infty_{-\infty} g(x) = 1$

$\mathrm{(i), (ii)}$ を示せばよい.

(i)

$x \geq a$ のとき、
$\displaystyle F(x)は分布関数なので、F(a) \leq 1 \hspace{5mm}\therefore 1-F(a) \geq 0$
$\displaystyle f(x)は\mathrm{pdf}なので、f(x) \geq 0$

$\therefore g(x)=\frac{f(x)}{1-F(a)} \geq 0$

$x < a のとき、g(x) =0$

$\therefore g(x) \geq 0$

(ii)

${ \displaystyle \begin{align} \int^\infty_{-\infty} g(x) &= \int^a_{-\infty} g(x)dx + \int^\infty_a g(x)dx\\\ &=\int^\infty_a \frac{f(x)}{1-F(a)}dx\\\ &=\frac{\left[F(x) \right]^\infty_a}{1-F(a)}=\frac{1-F(a)}{1-F(a)}=1 \end{align} }$

$\mathrm{(i), (ii)}より、g(x)は\mathrm{pdf}.$

$f(x)=e^{-x}, x>0, a=1の場合、x \geq1では、$
${ \displaystyle \begin{align} F(1)&=\int^1_0 e^{-t}dt\\\ &=- \left[e^{-t} \right]^1_0=-(e^{-1}-1)=1-e^{-1} \\\ \\\ g(x)&=\frac{e^{-x}}{1-(1-e^{-1})}=e^{-x+1}\\\ \end{align} }$