【現代数理統計学の基礎】演習問題 2章問14 答案例

はじめに

統計検定1級の対策として現代数理統計学の基礎を解いています。
公式の略解だと式展開が追いきれない部分があったので、
可能な限り、しつこく式展開をしつつ解いています。
誤り・飛躍があったら、コメントにてお知らせください。

演習問題 2章問14 答案例

${ \displaystyle xの範囲が(-1,1)とx軸に対して対称であるため、以下のように書ける.\\\ \begin{align} F_Y(y)&=P(Y \leq y)\\\ &=P(X^2 \leq y)\\\ &=P(X \in \{x \mid -\sqrt{y} \leq x \leq \sqrt{y} \})\\\ \\\ \therefore f_Y(y)&=\frac{d}{dy} \int^{\sqrt{y}}_{-\sqrt{y}} \frac{1+x}{2} dx\\\ &= \frac{d}{dy} \left[\frac{x^2}{4} + \frac{x}{2} \right]^{\sqrt{y}}_{-\sqrt{y}}\\\ &=\frac{d}{dy} \sqrt{y} = \underline{\frac{1}{2\sqrt{y}}, \hspace{3mm} 0 < y < 1.} \end{align} }$

$\displaystyle{ E[Y]=\frac{1}{2} \int^1_0 y \frac{1}{\sqrt{y}} dy = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \left[ y^{\frac{3}{2}} \right]^1_0 = \underline{\frac{1}{3}}\\\ \\\ E[ Y^2 ]=\frac{1}{2} \int^1_0 y^2 \frac{1}{\sqrt{y}} dy = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} \left[ y^{\frac{5}{2}} \right]^1_0=\frac{1}{5}\\\ \underline{Var(Y)=\frac{4}{45}}. }$