【現代数理統計学の基礎】演習問題 2章問16 答案例

はじめに

統計検定1級の対策として現代数理統計学の基礎を解いています。
公式の略解だと式展開が追いきれない部分があったので、
可能な限り、しつこく式展開をしつつ解いています。
誤り・飛躍があったら、コメントにてお知らせください。

演習問題 2章問16 答案例

(1)

$\displaystyle{ P(X > t) \geq P(Y >t)がすべてのtについて成り立つ場合、以下が言える。\\\ P(X >t ) = 1 -F_X(t)\\\ P(Y > t) = 1- F_Y(t)\\\ \Rightarrow 1-F_X(t) \geq 1- F_Y(t) \cdots ①\\\ \Rightarrow -F_X(t) \geq -F_Y(t) \cdots ②\\\ \\\ \\\ 2章問7(1)の結果を使うと、\\\ E[X]=\int^\infty_0 (1-F_X(t))dt - \int^0_{-\infty} F_X(t)dt\\\ E[Y]=\int^\infty_0 (1-F_Y(t))dt - \int^0_{-\infty} F_Y(t)dt\\\ ①②より、\\\ E[X] \geq E[Y] }$

以上.

(2)

$\displaystyle{ ②より、F_X(t) \leq F_Y(t)となる.\\\ ここで、F_X(t), F_Y(t)はいずれも分布関数なので非減少関数である.\\\ \Rightarrow s = F_X(t+a) = F_Y(t) となるaが存在する. (ただしa \geq 0) }$