【現代数理統計学の基礎】演習問題 2章問8 答案例

はじめに

統計検定1級の対策として現代数理統計学の基礎を解いています。
公式の略解だと式展開が追いきれない部分があったので、
可能な限り、しつこく式展開をしつつ解いています。
誤り・飛躍があったら、コメントにてお知らせください。

演習問題 2章問8 答案例

${ \displaystyle E[X] = \int^\infty_{-\infty} xf(x-\mu)dx\\\ \\\ y = g(x) = x -\mu なる変数変換を考える.\\\ \frac{d}{dx}(x-\mu)=1>0より、g(x)は単調増加関数であり、逆関数が存在する.\\\ \Rightarrow g^{-1}(y) = y + \mu\\\ \\\ \begin{align} \therefore f_Y(y) &= f_X(g^{-1}(y)) \cdot \frac{1}{g'(g^{-1}(y))}\\\ &=f(y+\mu - \mu) \cdot \frac{1}{1}\\\ &=f(y) \end{align} \\\ \\\ \\\ 設問から、f(y)は奇関数であることがわかるので、\\\ \\\ E[Y]=\int^\infty_{-\infty} yf(y)dy = 0\\\ \\\ E[X]=E[Y+\mu]=E[Y]+\mu=\mu }$