【現代数理統計学の基礎】演習問題 2章問11 答案例

はじめに

統計検定1級の対策として現代数理統計学の基礎を解いています。
公式の略解だと式展開が追いきれない部分があったので、
可能な限り、しつこく式展開をしつつ解いています。
誤り・飛躍があったら、コメントにてお知らせください。

演習問題 2章問11 答案例

$\displaystyle{ (確率関数であることの証明)\\\ \mathrm{(i)} \hspace{3mm} f(k)=\frac{1}{2^{k+1}}より、明らかにf(k)は非負である.\\\ \mathrm{(ii)} \hspace{3mm} \sum\limits^\infty_{k=0} f(k)=\sum\limits^\infty_{k=0} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^k}\\\ これは初項\frac{1}{2}、公比\frac{1}{2}の無限等比級数なので、\\\ \sum\limits^\infty_{k=0} f(k) = \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} = 1\\\ \\\ \mathrm{(i),(ii)}より、f(k)は確率関数である. \\\ \\\ \\\ (確率母関数)\\\ |s| \leq 1のsに対して、\\\ G_X(s)=\sum\limits^\infty_{k=0} s^k \cdot \frac{1}{2^(k+1)} = \sum\limits^\infty_{k=0} \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{s}{2}\right)^k\\\ \\\ これは初項\frac{1}{2}、公比\frac{s}{2} < 1の無限等比級数なので、\\\ \underline{G_X(s)= \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{s}{2}}=\frac{1}{2-s}}\\\ \\\ \\\ \\\ (積率母関数)\\\ \underline{M_X(t)=G_X(e^t)=\frac{1}{2-e^t}, \hspace{3mm} e^t \leq 1}\\\ \\\ \\\ \\\ (k次階乗モーメント)\\\ E[X(X-1) \cdots (X-k+1)]=\left. G_X^{(k)}(s) \right|_{s=1}\\\ G_X^{(k)}(s)=\frac{k!}{(2-s)^{k+1}}なので、E[X(X-1) \cdots (X-k+1)]=\frac{k!}{(2-1)^{k+1}}\\\ \therefore \underline{E[X(X-1) \cdots (X-k+1)]=k!} }$