【現代数理統計学の基礎】演習問題 2章問12 答案例

はじめに

統計検定1級の対策として現代数理統計学の基礎を解いています。
公式の略解だと式展開が追いきれない部分があったので、
可能な限り、しつこく式展開をしつつ解いています。
誤り・飛躍があったら、コメントにてお知らせください。

演習問題 2章問12 答案例

(1)

$\displaystyle{ M_X(t)=E[e^{tX}]=\int^1_0 e^{tx} dx = \frac{1}{t} \left[e^{tx}\right]^1_0 = \underline{\frac{1}{t}\left(e^t -1 \right)}\\\ モーメント母関数から平均・分散を求められるが、(※ロピタルの定理を使用する.)\\\ 今回の場合は素直に積分を実行するほうが楽.\\\ \\\ \mu = E[X]=\int^1_0 x \cdot 1 dx = \frac{1}{2} \left[x^2 \right]^1_0 = \underline{\frac{1}{2}}\\\ \\\ \\\ E[X^2]=\int^1_0 x^2 \cdot 1 dx = \frac{1}{3} \left[x^3 \right]^1_0 = \frac{1}{3}\\\ Var(X) = E[X^2]-\left\{E[X] \right\}^2 = \underline{\frac{1}{12}} }$

以上.

(2)

(pdf)
$\displaystyle{ Y=g(X)=X^2なる変数変換を考える.\\\ g'(x)=2x > 0 \hspace{5mm} \because 0 < x < 1\\\ \therefore g(x)は定義域では単調増加関数.\\\ g^{-1}(y)=\sqrt{y}, \hspace{3mm} 0 < y < 1 \\\ \\\ \begin{align} f_Y(y)&=f_X(g^{-1}(y)) \cdot \frac{1}{g'(g^{-1}(y))} \\\ &= 1 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{y}} =\underline{\frac{1}{2 \sqrt{y}}, \hspace{3mm} 0 < y < 1}\\\ \end{align} }$

(平均)
$\displaystyle{ \mu=E[Y]=\int^1_0 y \cdot \frac{1}{2 \sqrt{y}}dy=\frac{1}{2} \int^1_0 y^{\frac{1}{2}} dy = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}\left[y^\frac{3}{2} \right]^1_0=\underline{\frac{1}{3}}\\\ }$

(分散)
$\displaystyle{ \mu=E[Y^2]=\int^1_0 y^2 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{y}}dy=\frac{1}{2} \int^1_0 y^{\frac{3}{2}} dy = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} \left[y^\frac{5}{2} \right]^1_0=\frac{1}{5} \\\ Var(Y)=E[Y^2] - \left\{ E[Y] \right\}^2=\frac{1}{5} - \left\{ \frac{1}{3} \right\}^2=\underline{\frac{4}{45}} }$

以上.

(3)

(pdf)
$\displaystyle{ Y=g(X)=-log(X)なる変数変換を考える.\\\ g'(x)=-\frac{1}{x} < 0. \hspace{5mm} \because 0 < x < 1.\\\ \therefore g(x)は定義域では単調減少関数.\\\ g^{-1}(y)=e^{-y}\\\ \\\ \begin{align} f_Y(y)&=f_X(g^{-1}(y)) \cdot \left| \frac{1}{g'(g^{-1}(y))} \right| \\\ &=1 \cdot \left| \frac{1}{-e^{-y}} \right|\\\ &= \underline{e^{-y}, \hspace{3mm} y > 0} \end{align} }$

(平均・分散)
yのpdfとその定義域は2章問10の問題設定に帰着する.
peatlover.hatenablog.com

$\displaystyle{ E[Y^k]=k!より、\\\ \underline{\mu=E[Y]=1}\\\ E[Y^2] = 2なので、\underline{Var(Y)=2-1^2=1} }$

以上.

(4)

(pdf)
$\displaystyle{ Y=g(X)=\sigma X + \mu, \sigma > 0なる変数変換を考える.\\\ g'(x)=\sigma > 0より、g(x)は単調増加関数.\\\ g^{-1}(y)=\frac{y-\mu}{\sigma}\\\ \\\ f_Y(y)=1 \cdot \frac{1}{\sigma} = \underline{\frac{1}{\sigma}, \hspace{3mm} \mu < y < \mu + \sigma} }$

(モーメント母関数)
$\displaystyle{ M_Y(t)=\int^{\mu+\sigma}_\mu e^{ty} \frac{1}{\sigma} dy = \frac{1}{\sigma t} \left[e^{ty} \right]^{\mu+\sigma}_\mu = \underline{\frac{1}{\sigma t}\left(e^{t(\mu + \sigma)} - e^{t\mu} \right)} }$

(平均)
$\displaystyle{ E[Y]=\int^{\mu+\sigma}_\mu y \frac{1}{\sigma}dy = \frac{1}{2\sigma} \left[y^2 \right]^{\mu+\sigma}_\mu=\frac{1}{2\sigma} \left(\sigma^2 + 2\mu \sigma + \mu^2 - \mu^2 \right)=\underline{\mu + \frac{\sigma}{2}} }$

(分散)
$\displaystyle{ \begin{align} E[Y^2]&=\int^{\mu+\sigma}_\mu y^2 \frac{1}{\sigma}dy = \frac{1}{3\sigma} \left[y^3 \right]^{\mu+\sigma}_\mu=\frac{1}{3\sigma} \left(\sigma^3 + 3\mu \sigma^2 + 3\mu^2 \sigma + \mu^3 - \mu^3 \right)\\\ &=\frac{\sigma^3+3\mu \sigma^2 + 3\mu^2 \sigma }{3\sigma}=\mu^2+\mu \sigma + \frac{\sigma^2}{3}\\\ \\\ \\\ Var(Y) &= E[Y^2]- \left\{E[Y] \right\}^2\\\ &=\mu^2 + \mu \sigma + \frac{\sigma^2}{3} - \left\{ \mu + \frac{\sigma}{2} \right\}^2\\\ &=\mu^2 + \mu \sigma + \frac{\sigma^2}{3} - \left( \mu^2+\mu \sigma + \frac{\sigma^2}{4} \right)\\\ \end{align} \\\ \underline{Var(Y)=\frac{\sigma^2}{12}} }$