【現代数理統計学の基礎】演習問題 2章問5 答案例

はじめに

統計検定1級の対策として現代数理統計学の基礎を解いています。
公式の略解だと式展開が追いきれない部分があったので、
可能な限り、しつこく式展開をしつつ解いています。
誤り・飛躍があったら、コメントにてお知らせください。

演習問題 2章問5 答案例

$\mu_h=E[X^h]$ なので、以下を示す.
${ \displaystyle \begin{align} E[|X^h|]=E[|X|^h]<\infty \end{align} }$

$0 < h < k なるkについてk次モーメントが存在しているので、以下が成り立つ.$
$E[\|X^k|]=E[|X|^k]<\infty$

$\mathrm{(i)} |x|>1のときは |x|^k> |x|^h>1$
$\mathrm{(ii)} |x| \leq 1のときは 0 \leq |x|^k \leq |x|^h \leq 1$

$\displaystyle \begin{align} |x|^h &= |x|^h I(|x| \leq 1) + |x|^h I(|x| > 1) \\\ &\leq 1 \cdot I(|x| \leq 1) + |x|^h I(|x| > 1) \hspace{10mm} \because \mathrm{(i)} \\\ &\leq I(|x| \leq 1) + |x|^k I(|x|>1) \hspace{10mm} \because \mathrm{(ii)} \\\ |x|^h &\leq 1+|x|^k \end{align}$