【現代数理統計学の基礎】演習問題 2章問6 答案例

はじめに

統計検定1級の対策として現代数理統計学の基礎を解いています。
公式の略解だと式展開が追いきれない部分があったので、
可能な限り、しつこく式展開をしつつ解いています。
誤り・飛躍があったら、コメントにてお知らせください。

演習問題 2章問6 答案例

$\displaystyle 離散型確率変数なので、確率母関数を用いて期待値が以下のように表される.\\\ \begin{align} E[X]&=G_X^{(1)}(1) \\\ &=\sum\limits_{k=0}^{\infty} k\cdot 1^{k-1}1 p(k)\\\ &=\sum\limits_{k=1}^{\infty} kp(k) \hspace{10mm} \because k =0 のとき kp(k)=0 \\\ &=\sum\limits_{k=1}^\infty \sum\limits_{l=0}^{k-1} p(k) \hspace{10mm}\because k\geq1のとき、k=\sum\limits_{l=0}^{k-1}1\\\ \end{align}$

${ \displaystyle ここで、和を取る順序を入れ替える.\\\ \{ (k,l) \backslash k \geq 1, 0 \leq l \leq k-1 \} \rightarrow \{ (k,l) \backslash l \geq 0, k \geq l + 1 \} なので、\\\ \begin{align} E[X] &= \sum\limits_{l=0}^\infty \sum\limits_{k=l+1}^\infty p(k)\\\ &=\sum\limits_{l=0}^\infty \left( P(l+1) + P(l+2) + P(l+3) +\cdots \right)\\\ &= P(1)+P(2)+P(3)+\cdots\\\ &\hspace{5mm}+\hspace{10mm}P(2)+P(3)+\cdots\\\ &\hspace{5mm}+\hspace{25mm}P(3)+\cdots\\\ &\hspace{6mm} \vdots \\\ &=P(X>0)+P(X>1)+P(X>3)+\cdots\\\ &=\sum\limits_{k=0}^\infty P(X>k)\\\ &=\sum\limits_{k=0}^\infty \left\{1-P(X\leq k)\right\}=\sum\limits_{k=0}^\infty \left\{1-F(k)\right\} \end{align} }$