【現代数理統計学の基礎】演習問題 2章問7 答案例

はじめに

統計検定1級の対策として現代数理統計学の基礎を解いています。
公式の略解だと式展開が追いきれない部分があったので、
可能な限り、しつこく式展開をしつつ解いています。
誤り・飛躍があったら、コメントにてお知らせください。

演習問題 2章問7 答案例

(1)

${ \displaystyle \begin{align} E[X]&=\int^\infty_{-\infty} xf(x)dx\\\ &=\int^0_{-\infty}xf(x)dx + \int^\infty_0 xf(x)dx \end{align} }$

$ここで、xについては別変数yを導入して、以下の積分で表せる.$
${ \displaystyle{ \mathrm{(i)} x < 0 のとき、 x=-\int^0_{x} dy\\\ \mathrm{(ii)}x \geq 0のとき、x=\int^x_0 dy\\\ \begin{align} E[X]&=-\int^0_{\infty} \left\{\int^0_x dy \right\} f(x) dx + \int^\infty_0 \left\{\int^x_0 dy\right\} f(x) dx \end{align} } }$

$\displaystyle{ 第1項、第2項ともにx,yの積分順序を交換する.\\\ 第1項 : \left\{ (x,y) \backslash -\infty < x < 0 , x < y < 0 \right\} \rightarrow \left\{ (x,y) \backslash -\infty < y < 0 , -\infty < x < y \right\} \\\ 第2項 : \left\{ (x,y) \backslash 0 < x < \infty , 0 < y < x \right\} \rightarrow \left\{ (x,y) \backslash 0 < y < \infty , y < x < \infty \right\} \\\ \\\ \begin{align} E[X]&=-\int^0_{\infty} \left\{\int^0_x dy \right\} f(x) dx + \int^\infty_0 \left\{\int^x_0 dy\right\} f(x) dx\\\ &=-\int^0_{-\infty} \left\{ \int^y_{-\infty} f(x)dx \right\} dy + \int^\infty_0 \left\{ \int^\infty_y f(x)dx \right\} dy\\\ &=-\int^0_{-\infty} F(y) dy +\int^\infty_0 \left\{1-F(y) \right\}dy\\\ \end{align} \\\ \therefore E[X] = \int^\infty_0 \left\{1-F(x) \right\}dx - \int^0_{-\infty} F(x) dx }$

以上.

(2)

$\displaystyle{ t = F(x) として、右辺を置換積分する.　F(x)は分布関数なので\\\ \frac{dt}{dx}=f(x)\\\ (t \rightarrow 0 , t \rightarrow1) \Rightarrow (x\rightarrow -\infty, x\rightarrow \infty)\\\ \\\ \\\ \begin{align} \therefore \int^1_0 F^{-1}(t)dt &= \int^\infty_{-\infty} F^{-1}\left(F(x) \right) f(x)dx\\\ &=\int^\infty_{-\infty} xf(x)dx = E[X] \end{align} }$