【現代数理統計学の基礎】命題1.10 証明例

はじめに

統計検定1級対策として現代数理統計学の基礎を学習中です。
試験対策の範囲では発展的事項の学習は必須ではないので、飛ばして進めています。

ただし、現代数理統計学の基礎演習問題 1章問8の証明に、
発展的事項の命題を使用していますが、証明過程が追いきれなかったので、
補足したものをこちらに掲載しておきます。
論理的な飛躍や誤りがあればコメントにてご指摘ください。

命題1.10 (1) 証明例

とある事象列 $A_k \hspace{5mm} k=1,2,....$ が単調増大列のとき、
$\displaystyle P(\bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k)=\lim_{n \to \infty} P(A_k)$ が成り立つことを示す.

$B_1 = A_1, B_k = A_k \cap A_{k+1}^c, k=2,3,....$ とすると、 $B_k, k=1,2,...$ は互いに排反.

したがって、 $P(\bigcup\limits_{k=1}^\infty B_k)=\sum\limits_{k=1}^\infty P(B_k)$

ここで、 $A_k, k=1,2,\ldots$ は単調増大列（ $A_{k-1} \subset A_k$ ）なので、
$\underline{P(A_k \cap A_{k-1})=P(A_{k-1})}$ となることを利用すると、

${ \displaystyle \begin{align} P(\bigcup\limits_{k=1}^n B_k)&=\sum\limits_{k=1}^n P(B_k)\\\ &=P(B_1)+\sum\limits_{k=2}^n P(B_k)\\\ &=P(A_1)+\sum\limits_{k=2}^n P(A_k \cap A_{k-1}^c)\\\ &=P(A_1)+\sum\limits_{k=2}^n P(A_k \setminus A_{k-1})\\\ &=P(A_1)+\sum\limits_{k=2}^n [P(A_k)-\underline{P(A_k \cap A_{k-1})}]\\\ &=P(A_1)+\sum\limits_{k=2}^n [P(A_k)-\underline{P(A_{k-1})}]\\\ &=P(A_n) \end{align} }$

$\displaystyle \therefore \hspace{5mm} P(\bigcup\limits_{k=1}^\infty B_k) = \lim_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^n P(B_k) = \lim_{n \to \infty} P(A_n)$

$\displaystyle \begin{align} \bigcup\limits_{k=1}^\infty B_k &= \underline{A_1 \cup (A_2 \cap A_1^c)} \cup \ldots \cup (A_k \cap A_{k-1}^c) \cup \ldots \\\ &=\underline{(A_1 \cup A_2) \cap (A_1 \cup A_1^c)} \cup (A_3 \cap A_2^c) \cup \ldots \cup (A_k \cap A_{k-1}^c) \cup \ldots\\\ &=(A_1 \cup A_2) \cup (A_3 \cup A_2^c) \cup \ldots \cup (A_k \cap A_{k-1}^c) \cup \ldots\\\ &=A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \ldots \\\ \bigcup\limits_{k=1}^\infty B_k&=\bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k \end{align}$

$\displaystyle P(\bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k) = \lim_{n \to \infty} P(A_n)$ となり、確率の連続性が示される.

以上.

命題1.10 (2) 証明例

まず、 $\displaystyle P(\bigcup\limits_{k=1}^n) A_k \le \sum\limits_{k=1}^n P(A_k)$ を示す.

(2.1) $n=1$ のとき
$\displaystyle P(A_1) = P(A_1)$ なので成立.

(2.2) $n=2$ のとき
$\displaystyle P(A_1 \cup A_2)=P(A_1)+P(A_2)-P(A_1 \cap A_2) \leq P(A_1)+P(A_2)$ なので成立.

(2.3) $n=m$ のとき
$\displaystyle P(\bigcup\limits_{k=1}^m A_k) \leq \sum\limits_{k=1}^m P(A_k)$ が成立と仮定.
${ \displaystyle \begin{align} P(\bigcup\limits_{k=1}^{m+1} A_k)&=P(\bigcup\limits_{k=1}^m A_k \cup A_{m+1})\\\ \\\ &\leq \underline{P(\bigcup\limits_{k=1}^m A_k)}+P(A_{m+1})\\\ \\\ &\leq \underline{\sum\limits_{k=1}^m P(A_k)} + P(A_{m+1}) = \sum\limits_{k=1}^{m+1} P(A_k)\\\ \end{align} }$

よって、 $n=m+1$ のときも成立.

(2.1)(2.2)(2.3)より、
$\displaystyle P(\bigcup\limits_{k=1}^n) A_k \le \sum\limits_{k=1}^n P(A_k) \hspace{7mm} (2.1)$
が数学的帰納法により成立する.

ここで、 $B_n = \bigcup\limits_{k=1}^n A_k$ と置くと、 $B_n \subset B_{n+1}$ となっており、単調増大列なので、
$\displaystyle \begin{align} P(\bigcup\limits_{n=1}^\infty B_n) &= \lim_{n \to \infty} P(B_n) \hspace{7mm} \because (1) \\\ &=\lim_{n \to \infty} P(\bigcup\limits_{k=1}^n A_k)\\\ &\le \lim_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^n P(A_k) = \sum\limits_{k=1}^\infty P(A_k) \hspace{7mm} \because (2.1)\\\ \\\ \\\ \bigcup\limits_{k=1}^\infty B_n &= \bigcup\limits_{n=1}^\infty \bigcup\limits_{k=1}^n A_k = A_1 \cup (A_1 \cup A_2) \cup \ldots = \bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k \\\ \\\ \therefore P(\bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k) &\le \sum\limits_{k=1}^\infty P(A_k) \end{align}$