【現代数理統計学の基礎】演習問題 1章問8 答案例

はじめに

統計検定1級の対策として現代数理統計学の基礎を解いています。
公式の略解だと式展開が追いきれない部分があったので、
可能な限り、しつこく式展開をしつつ解いています。
誤り・飛躍があったら、コメントにてお知らせください。

演習問題 1章問8 答案例

ボンフェロニの不等式を示す.
$\displaystyle P(\bigcap\limits_{k=1}^\infty A_k) \geq 1-\sum\limits_{k=1}^\infty P(A_k^c)$

現代数理統計学の基礎 P7 命題1.10より、 $P(\bigcup\limits_{k=1}^\infty B_k) \leq \sum\limits_{k=1}^\infty P(B_k)$ が成り立つ.

$B_k = A_k^c$ とおくことで、 $P(\bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k^c) \leq \sum\limits_{k=1}^\infty P(A_k^c)$ が成り立つことがわかる.

${ \displaystyle \begin{align} P(\bigcap\limits_{k=1}^\infty A_k) &= 1 - P((\bigcap\limits_{k=1}^\infty A_k)^c)\\\ \\\ P(\bigcap\limits_{k=1}^\infty A_k) &= 1 - P(\bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k^c)\\\ \\\ P(\bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k^c) &= 1- P(\bigcap\limits_{k=1}^\infty A_k)\\\ \\\ &\le \sum\limits_{k=1}^\infty P(A_k^c)\\\ \end{align} }$

$\displaystyle \therefore \hspace{7mm} P(\bigcap\limits_{k=1}^\infty A_k) \ge 1-\sum\limits_{k=1}^\infty P(A_k^c)$