【現代数理統計学の基礎】演習問題 1章問6 答案例

はじめに

統計検定1級の対策として現代数理統計学の基礎を解いています。
公式の略解だと式展開が追いきれない部分があったので、
可能な限り、しつこく式展開をしつつ解いています。
誤り・飛躍があったら、コメントにてお知らせください。

演習問題 1章問6 答案例

各事象を以下のように置く。
$A$ ：疾患がある
$B$ ：検査で陽性となる

問題設定からわかっているのは、

$\displaystyle \begin{align} P(A)=\frac{1}{10} \\\ P(B \mid A^c) = \frac{2}{10} \\\ P(B^c \mid A) = \frac{1}{10} \\\ \\\ P(A^c)=\frac{9}{10} \\\ P(B^c \mid A^c)=\frac{8}{10} \\\ P(B \mid A)=\frac{9}{10} \end{align}$

Bayesの定理

${ \displaystyle \begin{align} P(B_j \mid A) = \frac{P(A \mid B_j)P(B_j)}{\sum\limits_{k=1}^\infty P(A \mid B_j)P(B_j)} \end{align} }$

より、求める確率 $\displaystyle P(A \mid B)$ は以下のようになる。

${ \displaystyle \begin{align} P(A \mid B) &= \frac{P(B \mid A)P(A)}{P(B \mid A)P(A)+P(B \mid A^c)P(A^c)} \\\ \\\ &= \frac{\frac{9}{10} \times \frac{1}{10}}{\frac{9}{10} \times \frac{1}{10} + \frac{2}{10} \times \frac{9}{10}} \\\ \\\ &=\frac{1}{3} \end{align} }$

以上.