【現代数理統計学の基礎】演習問題 1章問3 答案例

はじめに

統計検定1級の対策として現代数理統計学の基礎を解いています。
公式の略解だと式展開が追いきれない部分があったので、
可能な限り、しつこく式展開をしつつ解いています。
誤り・飛躍があったら、コメントにてお知らせください。

演習問題 1章問3 答案例

$P(\bigcap\limits_{k=1}^n A_k)=[\prod\limits_{k=2}^n P(A_k \mid \bigcap\limits_{l=1}^{k-1} A_l)]P(A_1) \hspace{10mm} n\geqq 2$

を数学的帰納法により示す.

(1) $n = 2$ のとき、条件付確率の定義から、
$P(A_1 \cap A_2)=P(A_2 \mid A_1)P(A_1)$ 　となり、成立する.

(2) $n = m \hspace{5mm} (m\geqq 2)$ のとき、
$P(\bigcap\limits_{k=1}^m A_k)=[\prod\limits_{k=2}^m P(A_k \mid \bigcap\limits_{l=1}^{k-1} A_l)]P(A_1)$ 　が成立すると仮定する.

${ \displaystyle \begin{align} P(\bigcap\limits_{k=1}^{m+1} A_k) &= P[A_{m+1}\cap (\bigcap\limits_{k=1}^m A_k) ] \\\ &=P[A_{m+1} \mid (\bigcap\limits_{k=1}^m A_k)]\underline{P(\bigcap\limits_{k=1}^m A_k)}\\\ \end{align} }$

仮定より

${ \displaystyle \begin{align} P(\bigcap\limits_{k=1}^{m+1} A_k) &=P[A_{m+1} \mid (\bigcap\limits_{k=1}^m A_k)] \times\underline{[\prod\limits_{k=2}^m P(A_k \mid \bigcap\limits_{l=1}^{k-1} A_l)]P(A_1)}\\\ &=[\prod\limits_{k=2}^{m+1} P(A_k \mid \bigcap\limits_{l=1}^{k-1} A_l)]P(A_1) \end{align} }$

となり、 $n = m+1$ でも成立.