【現代数理統計学の基礎】演習問題 1章問1 答案例

はじめに

統計検定1級の対策として現代数理統計学の基礎を解いています。
公式の略解だと式展開が追いきれない部分があったので、
可能な限り、しつこく式展開をしつつ解いています。
誤り・飛躍があったら、コメントにてお知らせください。

演習問題 1章問1 答案例

${ \displaystyle \begin{align} A \ominus B &= (A \cap B^c) \cup (A^c \cap B) \\\ &= \{(A^c)^c \cap B^c\} \cup \{A^c \cap (B^c)^c\} \\\ A \ominus B &= A^c \ominus B^c \end{align} }$

${ \displaystyle \begin{align} A \ominus B &= (A \cap B^c) \cup (A^c \cap B) \\\ &= \{(A \cap B^c) \cup A^c \} \cap \{(A \cap B^c) \cup B\} \\\ &= \{\underline{(A \cup A^c)} \cap (B^c \cup A^c) \} \cap \{(A \cup B) \cap \underline{(B^c \cup B)} \} \\\ &= \{\underline{(\Omega} \cap (A^c \cup B^c)\} \cap \{(A \cup B) \cap \underline{\Omega}\} \\\ &= (A \cup B) \cap (A^c \cup B^c) \\\ &= (A \cup B) \cap (A \cap B)^c \\\ A \ominus B &= (A \cup B) \setminus(A \cap B) \tag{1} \end{align} }$

差事象の確率は $A \cup B = A \cup (B \setminus A)$ の確率を考える.
$AとB \setminus A$ は互いに排反なので、

${ \displaystyle \begin{align} P(A \cup B) &= P(A) + P(B\setminus A) \\\ \\\ P(B\setminus A) &= P(A \cup B) - P(A) \\\ &= \{P(A) + P(B) - P(A \cap B) \} - P(A) \\\ &= P(B) - P(A \cap B) \tag{2} \end{align} }$

(1)(2)より、

${ \displaystyle \begin{align} P(A \ominus B) &= P[(A \cup B) \setminus (A \cap B)] \\\ &=P(A \cup B) - P[(A \cup B) \cap (A \cap B)] \\\ &=P(A \cup B) - P(A \cap B) \\\ &=P(A)+P(B)-P(A \cap B) - P(A \cap B)\\\ P(A \ominus B) &= P(A)+P(B)-2P(A \cap B) \end{align} }$